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lecture-4

更新时间:2023-12-13阅读整篇大约7分钟

正交矩阵

正交矩阵比较特殊，当且仅当其与其转置矩阵的乘积是单位矩阵时，矩阵是正交的

M是正交矩阵<=>MMT=IM是正交矩阵 <=> MM^{T} = IM是正交矩阵<=>MMT=I

注意到矩阵M(线性无关)与其逆矩阵MTM^{T}MT的乘积也是单位矩阵，所以可以有如下结论

M是正交矩阵<=>MT=M−1M是正交矩阵 <=> M^{T} = M^{-1}M是正交矩阵<=>MT=M−1

这是一个非常重要的结论，我们知道求一个矩阵的逆是需要大量的计算的，而如果判断出矩阵是正交的，那么可以直接利用转置矩阵充当逆矩阵完成计算，大大减少了计算耗能

旋转矩阵、反射矩阵都是正交矩阵！

如果我们确定一个矩阵仅包含旋转和反射，那么我们也可以推断出他是正交的

通过直接计算判断矩阵是否正交

M∗MT=I∣m11m12m13m21m22m23m31m32m33∣∗∣m11m21m31m12m22m32m13m23m33∣=∣100010001∣即m11m11+m12m12+m13m13=1,m11m21+m12m22+m13m23=0,m11m31+m12m32+m13m33=0,m21m11+m22m12+m23m13=0,m21m21+m22m22+m23m23=1,m21m31+m22m32+m23m33=0,m31m11+m32m12+m33m13=0,m31m21+m32m22+m33m23=0,m31m31+m32m32+m33m33=1,我们可以将它换一种形式展示出来设r1、r2、r3均代表M的行：r1=∣m11m12m13∣、r2=∣m21m22m23∣、r3=∣m31m32m33∣则M=∣−r1−−r2−−r3−∣则上式可以改写为r1∗r1=1,r1∗r2=0,r1∗r3=0r2∗r1=0,r2∗r2=1,r2∗r3=0r3∗r1=0,r2∗r2=0,r3∗r3=1M * M^{T} = I \\
\begin{vmatrix}
m_{11} & m_{12} & m_{13} \\
m_{21} & m_{22} & m_{23} \\
m_{31} & m_{32} & m_{33} \\
\end{vmatrix} * \begin{vmatrix}
m_{11} & m_{21} & m_{31} \\
m_{12} & m_{22} & m_{32} \\
m_{13} & m_{23} & m_{33} \\
\end{vmatrix}  = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}\\
即\\
m_{11}m_{11} + m_{12}m_{12} + m_{13}m_{13} = 1,\\
m_{11}m_{21} + m_{12}m_{22} + m_{13}m_{23} = 0,\\
m_{11}m_{31} + m_{12}m_{32} + m_{13}m_{33} = 0,\\
m_{21}m_{11} + m_{22}m_{12} + m_{23}m_{13} = 0,\\
m_{21}m_{21} + m_{22}m_{22} + m_{23}m_{23} = 1,\\
m_{21}m_{31} + m_{22}m_{32} + m_{23}m_{33} = 0,\\
m_{31}m_{11} + m_{32}m_{12} + m_{33}m_{13} = 0,\\
m_{31}m_{21} + m_{32}m_{22} + m_{33}m_{23} = 0,\\
m_{31}m_{31} + m_{32}m_{32} + m_{33}m_{33} = 1,\\
我们可以将它换一种形式展示出来\\
设r_1、r_2、r_3均代表M的行：\\
r_1 = \begin{vmatrix}m_{11} & m_{12} & m_{13} \end{vmatrix}、r_2 = \begin{vmatrix}m_{21} & m_{22} & m_{23} \end{vmatrix}、r_3 = \begin{vmatrix}m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{vmatrix}\\
则M = \begin{vmatrix}
-r_1- \\
-r_2- \\
-r_3- \\
\end{vmatrix}\\
则上式可以改写为\\
r_1*r_1 = 1 , r_1*r_2 = 0 , r_1*r_3 = 0\\
r_2*r_1 = 0 , r_2*r_2 = 1 , r_2*r_3 = 0\\
r_3*r_1 = 0 , r_2*r_2 = 0 , r_3*r_3 = 1\\M∗MT=I∣∣​m11​m21​m31​​m12​m22​m32​​m13​m23​m33​​∣∣​∗∣∣​m11​m12​m13​​m21​m22​m23​​m31​m32​m33​​∣∣​=∣∣​100​010​001​∣∣​即m11​m11​+m12​m12​+m13​m13​=1,m11​m21​+m12​m22​+m13​m23​=0,m11​m31​+m12​m32​+m13​m33​=0,m21​m11​+m22​m12​+m23​m13​=0,m21​m21​+m22​m22​+m23​m23​=1,m21​m31​+m22​m32​+m23​m33​=0,m31​m11​+m32​m12​+m33​m13​=0,m31​m21​+m32​m22​+m33​m23​=0,m31​m31​+m32​m32​+m33​m33​=1,我们可以将它换一种形式展示出来设r1​、r2​、r3​均代表M的行：r1​=∣∣​m11​​m12​​m13​​∣∣​、r2​=∣∣​m21​​m22​​m23​​∣∣​、r3​=∣∣​m31​​m32​​m33​​∣∣​则M=∣∣​−r1​−−r2​−−r3​−​∣∣​则上式可以改写为r1​∗r1​=1,r1​∗r2​=0,r1​∗r3​=0r2​∗r1​=0,r2​∗r2​=1,r2​∗r3​=0r3​∗r1​=0,r2​∗r2​=0,r3​∗r3​=1

同上面最终的变换我们可以知道

  • 由于当且仅当矢量是单位矢量时，矢量自己本省的点积才为1，所以可以知道只有当**r1、r2、r3r_1、r_2、r_3r1​、r2​、r3​都为单位矩阵**时，上述3个结果为1的式子才成立

  • 由于当且仅当两个矢量相互垂直时，矢量点积才为0，所以可以知道只有当r1、r2、r3r_1、r_2、r_3r1​、r2​、r3​都为相互垂直时，上诉6个结果为0的式子才成立

  • 如果以列划分也是相同的结果

  • 我们知道矢量相乘满足交换律，所以其实点乘为0的式子实际满足的只有3个约束，也即是互相垂直

正交化计算

Gram-Schmidt正交化

以3x3为例，r1、r2、r3r_1、r_2、r_3r1​、r2​、r3​表示3x3矩阵M的行，然后根据Gram-Schmidt算法计算一组正交的行矢量

r1′<=r1r2′<=r2−r2∗r1′r1′∗r1′∗r1′r3′<=r3−r3∗r1′r1′∗r1′∗r1′−r3∗r2′r2′∗r2′∗r2′r_1^{'} <= r_1\\
r_2^{'} <= r_2 - \frac{r_2 * r_1^{'}}{r_1^{'} * r_1^{'}} * r_1^{'}  \\
r_3^{'} <= r_3 - \frac{r_3 * r_1^{'}}{r_1^{'} * r_1^{'}} * r_1^{'} -\frac{r_3 * r_2^{'}}{r_2^{'} * r_2^{'}} * r_2^{'}  \\r1′​<=r1​r2′​<=r2​−r1′​∗r1′​r2​∗r1′​​∗r1′​r3′​<=r3​−r1′​∗r1′​r3​∗r1′​​∗r1′​−r2′​∗r2′​r3​∗r2′​​∗r2′​

对于每个基矢量，我们的想法是按顺序遍历每个基矢量，并减去与基向量平行的向量，我们希望矢量的三个方向能够变为我们正交基的三个方向，

  • 对于r1r_1r1​我们可以将r1r_1r1​为直接与r1′r_1^{'}r1′​对其，这样便有一个方向重合了

  • 对于r2r_2r2​,由于两个不同方向的矢量才能确定一个平面，那么我们可以让r1、r2r_1、r_2r1​、r2​与标准正交基的r1′和r2′r_1^{'}和r_2^{'}r1′​和r2′​构成的平面对其，这样对于r2r_2 r2​来说我们只需要减去r2r_2 r2​中r1r_1 r1​方向的分量即可得到第二个正交矢量，并且可以知道减去之后r2是垂直于r1r_2是垂直于r_1r2​是垂直于r1​的

  • 对于r3,由于我们对r2r_2 r2​的操作，现在r3r_3r3​需要减去r2′以及r1′r_2^{'} 以及 r_1^{'}r2′​以及r1′​方向上的分量

对于三维来说 有一种更简洁的计算r3r_3r3​的方法，利用外积来计算r3<=>r1xr2r_3 <=> r_1 x r_2r3​<=>r1​xr2​

如此便得到了一组正交基矢量，但是该基矢量不一定是单位矢量，同时Gram-Schmidt算法是有偏差的，这取决于列出的基矢量的顺序，例如r1r_1r1​永远不会改变。而r3r_3r3​则会改变最多(笔者感觉可以用外积来减小这个误差)

该算法有一种不偏向任何特定轴的变体，给出一个因子k，每次我们只减去他的k，而不是减去所有的投影

r1′<=r1−k∗r1∗r2r2∗r2∗r2−k∗r1∗r3r3∗r3∗r3r2′<=r2−k∗r2∗r1r1∗r1∗r1−k∗r2∗r3r3∗r3∗r3r3′<=r3−k∗r3∗r1r1∗r1∗r1−k∗r3∗r2r2∗r2∗r2r_1^{'} <= r_1 - k * \frac{r_1 * r_2}{r_2 * r_2} * r_2 -  k * \frac{r_1 * r_3}{r_3 * r_3} * r_3  \\
r_2^{'} <= r_2 - k * \frac{r_2 * r_1}{r_1 * r_1} * r_1 -  k * \frac{r_2 * r_3}{r_3 * r_3} * r_3  \\
r_3^{'} <= r_3 - k * \frac{r_3 * r_1}{r_1 * r_1} * r_1 -  k * \frac{r_3 * r_2}{r_2 * r_2} * r_2  \\r1′​<=r1​−k∗r2​∗r2​r1​∗r2​​∗r2​−k∗r3​∗r3​r1​∗r3​​∗r3​r2′​<=r2​−k∗r1​∗r1​r2​∗r1​​∗r1​−k∗r3​∗r3​r2​∗r3​​∗r3​r3′​<=r3​−k∗r1​∗r1​r3​∗r1​​∗r1​−k∗r2​∗r2​r3​∗r2​​∗r2​

该算法的一次每迭代一次会更加进行正交基矢量，会呈现一种收敛的状态，为k选择一个适当小的值(例如1/4)并迭代足够多的次数(如10次),会让我们相当接近正交，然后使用标准的Gram-Schmidt算法来保证获得完全的正交基