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更新时间:2023-12-13阅读整篇大约4分钟

点乘(dot)

几何表示

在三维中用于计算两个向量的方向信息，给定α⃗\vec{\alpha}α和β⃗\vec{\beta}β​

dot(α⃗,β⃗)=∣α∣∗∣β∣∗cos(<α⃗,β⃗>)dot(\vec{\alpha},\vec{\beta}) = |\alpha| * |\beta| * cos(<\vec{\alpha},\vec{\beta}>)dot(α,β​)=∣α∣∗∣β∣∗cos(<α,β​>)

在三维中可以用来判断两个向量的方向相似度，如果两个向量同向(夹角小于90°)，则1 > dot > 0；如果两个向量反向(夹角大于90°)，则0 > dot > -1.

  • 点乘的几何意义是a向量在b向量方向上的投影与b模的乘积

  • 如果α⃗\vec{\alpha}α or β⃗\vec{\beta}β​ 存在至少一个单位向量，那么点乘可以看作为α⃗\vec{\alpha}α or β⃗\vec{\beta}β​ 在 β⃗\vec{\beta}β​ or α⃗\vec{\alpha}α 上的投影

  • 并且值的绝对值大小也可以表示同向的程度，绝对值越大越平行,0表示垂直

  • 求两个向量的点乘也叫求两个向量的内积

矩阵表示

dot(α⃗,β⃗)=α⃗Tβ⃗=(xαyαzα)(xβyβzβ)=xαxβ+yαyβ+zαzβ\begin{aligned}
dot(\vec{\alpha},\vec{\beta}) &= \vec{\alpha}^T\vec{\beta} \\ 
							  &=\left(
 \begin{matrix}
 x_\alpha & y_\alpha & z_\alpha \\
 \end{matrix}\right)\left(
 \begin{matrix}
 x_\beta \\
 y_\beta \\
 z_\beta \\
 \end{matrix}\right)\\
 &=x_\alpha x_\beta + y_\alpha y_\beta + z_\alpha z_\beta
\end{aligned}dot(α,β​)​=αTβ​=(xα​​yα​​zα​​)⎝⎛​xβ​yβ​zβ​​⎠⎞​=xα​xβ​+yα​yβ​+zα​zβ​​

叉乘(cross)

几何表示

在三维中用于计算出同时垂直于两个向量的新向量，给定α⃗\vec{\alpha}α和β⃗\vec{\beta}β​

cross(α⃗,β⃗)=∣α∣∗∣β∣∗sin(<α⃗,β⃗>)∗n⃗如果用矢量表示cross(α⃗,β⃗)=αyβz−αzβy+αzβx−βzαx+αxβy−αyβxcross(\vec{\alpha},\vec{\beta}) = |\alpha| * |\beta| * sin(<\vec{\alpha},\vec{\beta}>) * \vec{n}\\
如果用矢量表示\\
cross(\vec{\alpha},\vec{\beta}) = \alpha_{y}\beta_{z} - \alpha_{z}\beta_{y}+  \alpha_{z}\beta_{x} - \beta_{z}\alpha_{x}+\alpha_{x}\beta_{y} - \alpha_{y}\beta_{x}\\cross(α,β​)=∣α∣∗∣β∣∗sin(<α,β​>)∗n如果用矢量表示cross(α,β​)=αy​βz​−αz​βy​+αz​βx​−βz​αx​+αx​βy​−αy​βx​

确定方向

在三维中可以用来计算出垂直于两个向量的新向量，n⃗\vec{n}n为α⃗\vec{\alpha}α和β⃗\vec{\beta}β​与所构成平面的单位法向量,可以用n⃗\vec{n}n决定新向量的方向是垂直平面(α⃗\vec{\alpha}α和β⃗\vec{\beta}β​构成的平面)向下还是向上

也可以用右手定则确定叉乘之后的向量方向，例如求α⃗\vec{\alpha}α对β⃗\vec{\beta}β​的叉乘，将右手从α⃗\vec{\alpha}α方向转到β⃗\vec{\beta}β​方向，大拇指所指方向即是新向量的方向。或者也可以用右手坐标系，食指指向α⃗\vec{\alpha}α方向中指指向β⃗\vec{\beta}β​方向，大拇指所指方向即是新向量的方向

确定左右关系

如果cross(α⃗,β⃗)cross(\vec{\alpha},\vec{\beta})cross(α,β​)结果为正的(大拇指朝上)，那么说明β⃗\vec{\beta}β​在α⃗\vec{\alpha}α左侧

矩阵表示

cross(α⃗,β⃗)=A∗β⃗=(0−zαyαzα0−xα−yαxα0)(xβyβzβ)(A*表示a的伴随矩阵)\begin{aligned}
cross(\vec{\alpha},\vec{\beta}) &= A^*\vec{\beta} \\ 
							  &=\left(
 \begin{matrix}
0 & -z_\alpha & y_\alpha \\
z_\alpha & 0 & -x_\alpha \\
-y_\alpha & x_\alpha & 0\\
 \end{matrix}\right)\left(
 \begin{matrix}
 x_\beta \\
 y_\beta \\
 z_\beta \\
 \end{matrix}\right)
\end{aligned}
\tag{A*表示a的伴随矩阵}cross(α,β​)​=A∗β​=⎝⎛​0zα​−yα​​−zα​0xα​​yα​−xα​0​⎠⎞​⎝⎛​xβ​yβ​zβ​​⎠⎞​​(A*表示a的伴随矩阵)

应用

  • 以向量α⃗\vec{\alpha}α和β⃗\vec{\beta}β​为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等

  • 可以用叉积判断一个点是否处于三角平面内，存在一个三角形A、B、C,三角平面内有一点P，判断P是否处于ABC构成的三角平面内

    AB×AP>0  说明P在AB左侧BC×BP>0  说明P在BC左侧CA×CP>0  说明P在CA左侧说明点P落在三角形ABC内部AB×AP > 0 \ \ 说明P在AB左侧 \\
BC×BP > 0 \ \ 说明P在BC左侧 \\
CA×CP > 0 \ \ 说明P在CA左侧 \\
说明点P落在三角形ABC内部AB×AP>0  说明P在AB左侧BC×BP>0  说明P在BC左侧CA×CP>0  说明P在CA左侧说明点P落在三角形ABC内部