lecture-3
更新时间:2023-12-13阅读整篇大约6分钟
矩阵的行列式
方形矩阵M的行列式表示为|M|,非方形矩阵的行列式是未定义的。
2x2矩阵的行列式由下列给出∣M∣=∣∣m11m21m12m22∣∣=m11m22−m12m21
3x3矩阵的行列式由下列给出∣M∣=∣∣m11m21m31m12m22m32m13m23m33∣∣=m11m22m33+m12m23m31+m13m21m32−m13m22m31−m23m32m11−m33m12m21=m11(m22m33−m23m32)+m12(m23m31−m21m33)+m13(m21m32−m22m31)如果将3x3的矩阵的行解释为3个矢量,那么这个矩阵的行列式就等价于3个矢量的三重积∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣=ax(bycz−bzcy)+ay(bzcx−czbx)+az(bxcy−bycx)=dot(a,cross(b,c))
子矩阵行列式和余子式
子矩阵行列式
M=∣∣m11m21m31m12m22m32m13m23m33∣∣=>M{12}=∣∣m21m31m23m33∣∣=m21∗m33−m23∗m31
余子式
C{ij}=(−1)i+jM{ij}(余子式)
任意nxn的矩阵的行列式
∣M∣=j=1∑nmijC{ij}=j=1∑nmij(−1)i+jM{ij}
例如
∣∣m11m21m31m12m22m32m13m23m33∣∣=m11∣∣m22m32m23m33∣∣−m12∣∣m21m31m23m33∣∣+m13∣∣m21m31m22m32∣∣
单位矩阵的行列式为1
∣I∣
= 1
矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积
∣AB∣=∣A∣∣B∣
∣M1M2...Mn−1Mn∣=∣M1∣∣M2∣...∣Mn−1∣∣Mn∣
矩阵转置的行列式等于原始行列式,也即是转置不改变矩阵的行列式
如果矩阵中的任何行或列包含全0,则该矩阵的行列式为0,即为奇异矩阵,并且是非可逆的
交换任意行对或任意列对都会让行列式变负
将行(列)的任意倍数添加到另一行(列)并不会该改变列式的值
对角线的一边全为0的非奇异矩阵,则该矩阵的行列式为1
行列式的几何解释
在二维中,行列式等于具有基矢量作为两条边的平行四边形或倾斜框的有符号面积,在三维中行列式则表示平行六面体的体积,行列式的符号则表示在矩阵中是否包含任何反射或投影,如果行列式为0,则包含投影,如果为负的,则包含反射
逆矩阵
逆矩阵即为矩阵的逆,M−1(M)=M(M−1)=I
,I
为单位矩阵,对于求矩阵的逆,我们要先知道他是否可逆,一般可以用行列式是否为0来进行判断,如果为0表示为非可逆矩阵
经典伴随矩阵
矩阵M的经典伴随矩阵,我们定义adjM
,被定义为M的余子式的矩阵的转置
给出矩阵3x3矩阵M,M=∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣首先计算M的余子式,adjM=∣∣C{11}C{21}C{31}C{12}C{22}C{32}C{13}C{23}C{33}∣∣T
计算逆矩阵
M−1=∣M∣adjM,∣M∣非0,即行列式不能为0例如给出一个M=∣∣−401−3243−2−1∣∣M−1=∣M∣adjM=−241∣∣6−2−291130−8−8∣∣=∣∣−41121121−83−241−241303131∣∣
矩阵的逆矩阵的逆是原始矩阵(它本身) (M−1)−1=M(M非奇异)
单位矩阵的逆是他本身 I−1=I
,反射矩阵的逆也是他本身,或者围绕任何轴旋转180°的矩阵
矩阵转置的逆矩阵是矩阵逆的转置 (MT)−1=(M−1)T
矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的乘积,但是顺序要相反 (AB)−1=B−1A−1
,扩展到多个矩阵则可以表示为:(M1M2...Mn−1Mn)−1=Mn−1Mn−1−1...M2−1M1−1
几何解释
他可以将一个变换“撤销”掉,如果采用一个M矩阵对物体进行变换,在用M的逆矩阵对其按照变换顺序进行变换,那么将会抵消掉M矩阵对物体的变换影响
即:(vM)M−1=v(MM−1)=vI=v